Cadres : concepts-outil et concepts-objet

Dans sa longue histoire, les mathématiques ont engendré un corpus de connaissances qui s'est structuré en "cadres" (Géométrie, Théorie des nombres, Algèbre, d'autres cadres sur la carte ci-contre). Un cadre est un ensemble de concepts susceptibles d’être organisés en une progression théorique. A l'intérieur de ces cadres, les concepts entretiennent des relations entre eux. Par exemple, le concept de symétrie axiale est un sous-concept de symétrie, lui-même sous-concept de transformation dans le cadre de la géométrie.

Pour R. DouadyDouady, R. (1986). Jeux de cadres et dialectique outil-objet. Recherches En Didactique Des Mathématiques, 7(2), 5–31. https://revue-rdm.com/1986/jeux-de-cadres-et-dialectique/ par concept-objet, elle entend objet culturel ayant sa place dans un édifice plus large qui est le savoir savant à un moment donné, reconnu socialement. C'est l'énoncé d'un savoir scientifique qui peut être signifié dans différents registres de représentation.

Le concept-outil est l'usage du concept pour résoudre un problème.
Par exemple pour déterminer l'aire d'un rectangle on peut utiliser la formule "L x l ". Ici plusieurs concept-outils sont utilisés : le concept de grandeur (Les longueurs des côtés du rectangle) et les concepts d'opération et de nombres.

"Un élève, en activité mathématique, peut recourir à un concept-outil de manière implicite ou explicite [...] un élève a des connaissances mathématiques s'il est capable d'en provoquer le fonctionnement comme outils explicites dans des problèmes qu'il doit résoudre, s'il est capable de les adapter lorsque les conditions habituelles d'emploi ne sont pas exactement satisfaites, pour interpréter le problème ou poser des questions à leurs propos." (Douady,1986)

La carte ci-dessous a été utilisée en formation de formateurs pour illustrer quelques cadres issus des domaines des programmes de la maternelle au lycée, avec quelques concepts-objets associés. 

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Cette carte peut-être utile pour amorcer une cartographie des concepts à partir d'une situation d'enseignement-apprentissage. Néanmoins elle ne suffit pas à déployer certaines dimensions :

• Représentée sous forme de nuage de mots, elle ne donne pas à voir l'organisation et l'articulation des concepts au sein de chaque cadrePour une approche plus fine par "niveaux de conceptualisations" pour interpréter les découpages des programmes, on peut consulter : Robert A. et al (2012). Une caméra au fond de la classe de mathématiques, (se) former au métier d'enseignant du secondaire à partir d'analyses vidéos. p.80..
• Les cadres ne sont pas exclusifs entre eux. Par exemple le concept de segment est à la fois un concept dans le cadre de la géométrie et celui des grandeurs. 

Registres de représentation sémiotique

" « Représenter », c’est donner à voir, ou au moins rendre perceptible à la vue et à l’esprit [...] Il arrive enfin qu’on doive « représenter » des entités abstraites, qui n’ont pas d’autre mode d’existence que cette représentation : des nombres décimaux, des fractions, des fonctions, en un mot des objets mathématiques" (Document Eduscol, 2016)

Les registres de représentations sémiotiques sont des productions constituées par l’emploi de signes appartenant à un système qui a ses contraintes propres de fonctionnement. Par exemple les "mots" sont des signes soumis aux contraintes de la langue, les "chiffres" sont soumis aux contraintes du langage symbolique du système de numération.

Un registre de représentation sémiotique permet de représenter une facette d'un concept. Un registre est donc toujours partiel.

Pour qu’un système puisse être un registre de représentation sémiotique, il doit permettre trois activités cognitives :

• La formation d’une représentation identifiable (Si on écrit "1+3 " on a formé un ensemble de signes dans le registre symbolique)
• Le traitement d’une représentation, qui consiste à transformer une représentation dans le registre où elle a été formée ( "1+3 " peut-être recodé "4 " on parle de traitement dans le registre symbolique)
• La conversion d’une représentation, qui consiste à transformer une représentation en une autre dans un nouveau registre ( "1+3 " peut se dire "la somme de un et de trois " ou "à un on ajoute trois ", on parle de conversion du registre symbolique dans le registre verbal)

R.Duval souligne " L'importance des différents registres de représentation sémiotique utilisés en mathématiques " et pointe "les difficultés durables, souvent insurmontables, que créent les changements de registres exigés par l'activité mathématique. La compréhension n'émergeant chez les sujets qu'avec la coordination d'au moins deux registres de représentation, celle-ci devient un enjeu essentiel pour l'apprentissage des mathématiques." (Duval,1993)

La «dynamique» propre à l'activité mathématique : de quelle nature sont les processus cognitifs en jeu ?

Ce qui fait la spécificité de la recherche d'une solution d'un problème en mathématiques c'est qu'elle requiert des changements de direction de la pensée qui apparaissent comme des ruptures. Tout se passe comme s'il fallait brusquement changer la manière de représenter les données, ou penser à autre chose, à l'encontre du déroulement spontané du jeu d'associations qui a été induit par la première compréhension du problème ou les premiers traitements engagés.

R.Duval note que "l'intérêt de la notion de «cadre» et de celle de «registre de représentation sémiotique» est de porter directement sur cette dynamique propre à l'activité mathématique, pour tenter de décrire avec précision les changements de direction de pensée qu'elle génère et pour en identifier les processus sous-jacents. " 

Ces changements de cadres et de registres induisent des changements de logiques de systèmes de signes, difficilement perceptibles par l'enseignant et plus encore par les élèves.

Des questions pour aider à décrire l'activité mathématique

R. Duval propose des questions directrices pour analyser l'activité mathématique :

• Quels sont les différents cadres et les différents registres sémiotiques en jeu ?
• Au cours de l'activité, quelles sont les opérations du changement de cadre ou de registre sémiotique ?
• Ces opérations de changement sont-elles explicites ou implicites dans l'activité du sujet ?
• Quelles conditions pour comprendre le processus de changement ?

Ces questions sont mobilisées dans l'analyse de la situation des "allumettes" 

La carte ci-dessous illustre cette notion de registre par des exemples.

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Cette carte a été utilisée en formation de formateur à propos de quelques représentations sémiotiques mobilisées dans la scolarité des élèves. Quelques points de vigilance sont nécessaires  :

• Représentée en forme de nuage de signes et d'unités sémiotiques ("trois","3", "=",...), elle ne donne pas à voir la formation de plusieurs représentations dans un même registre. 
• Une unité sémiotique est toujours en lien avec un système de signes, ce que la carte ci-dessus ne permet pas d'appréhender. Par exemple le symbole "=" n'est jamais utilisé seul dans une écriture symbolique. 
• Les logiques des systèmes de signes sont très souvent non-congruentes. Par exemple la lecture d'une phrase verbale se fait de gauche à droite, quand la lecture d'une égalité symbolique  peut être non-linéaire.