Cet article est structuré à partir de trois temps constitutifs de la conception de notre point de vue Centre Alain Savary, Concevoir des formations pour aider les enseignants à faire réussir tous les élèves, version 7, 2019, p.14 et 15 Lien vers le livret. Le diaporama de la présentation d'Anne Christyn :  lCI  

Analyser : qu'est-ce qu'on me demande de faire ?

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Le problème pour les pilotes

À l'échelle départementale, l'objectif des pilotes est de former tous les enseignants sur 9 heures de formation obligatoire en mathématiques, plus précisément sur l’enseignement de la numération décimale et leurs différents systèmes de représentation. La formation est pensée sur plusieurs années. 

Cette massification de la formation, peu habituelle, oblige les pilotes à recruter un vivier conséquent de formateurs, y compris des formateurs n’ayant pas d’expertise en formation en mathématiques. Il faut accompagner et former rapidement. Le partis-pris est de proposer un canevas clé en main aux formateurs, en proposant des tâches, des outils et des supports communs :

• Une situation d’homologie "TRIX" à mener en formation, afin que les enseignants éprouvent les difficultés rencontrées par les élèves et qu’elles soient mieux comprises.  
• Une situation didactique "Les mots-nombres" à expérimenter la classe, afin de placer les élèves dans une confrontation et une recherche par essai-erreur avec une phase d’institutionnalisation. 
• Une proposition de modélisation de la séance d'enseignement à partir des "mots-nombres".

L’enjeu pour les pilotes est d’apporter des connaissances aux enseignants et de recommander une pratique pour que les élèves soient plus performants à la fin du cycle 2.

Le problème pour les élèves

Du point de vue des pilotes les élèves rencontrent des difficultés pour passer d’un système de désignation à un autre (par exemple la désignation orale "cent huit" est retranscrit dans la désignation symbolique "100 8"). Ils s'appuient sur les erreurs récurrentes rencontrées dans les évaluations nationales et internationales.

Du point de vue de la formatrice, les difficultés du côté des élèves sont le passage de la désignation symbolique et analogique à la désignation verbale. Cela s’explique en particulier dans le contexte de la langue française par des irrégularités dans les désignations des nombres ("90" se dit "quatre-vingt-dix").

Ces difficultés sont relativement invisibles au cycle 2 mais deviennent saillantes au cycle 3 avec l’apprentissage des nombres décimaux, le calcul approché, le calcul mental, etc. 

D’autre part un même chiffre ne porte pas le même nom selon sa place dans l’écriture chiffrée et le zéro ne s’entend pas ou ne s’écrit pas dans le système de désignation verbal.

Le problème pour les enseignants

Du point de vue des  pilotes, plusieurs éléments sont mis en avant lorsqu'ils parlent des difficultés d'enseignement : un usage très régulier de fichiers d’exercices, peu de recherche, de confrontation et d’argumentation par les élèves. 

Du point de vue de la formatrice, pour les enseignants il est difficile de comprendre la nature des difficultés des élèves dans des pratiques où les passages d’un système de désignation à un autre sont complètement intériorisés et automatisés. 

Cet apprentissage lointain ne leur permet pas de prendre conscience des obstacles que peuvent rencontrer les élèves, ce qui se traduit par le fait qu'ils n’expriment pas de difficultés particulières sur l’enseignement de la numération. 

Un autre problème qu'elle identifie est que la situation d'apprentissage « Les mots-nombres » est très ressemblante aux exercices proposés dans les manuels. Cette situation peut donner l’impression qu’ils font déjà ce travail.   

Le problème pour la formatrice

Le scénario de formation proposé par les pilotes interroge les logiques de travail de la formatrice qui se pose la question : Est-ce que ce scénario de formation sera ressenti par les enseignants comme utile, utilisable et acceptable ?

Elle va pour cela chercher des moyens de prendre en compte les préoccupations des enseignants, les pratiques ordinaires et les mettre en discussion, mettre en évidence la nature des difficultés des élèves sur l'apprentissage de la numération et mettre en mots les problèmes d'enseignement qui en découlent.

Ci-contre, la formatrice a schématisé l'ingénierie de formation pensée par les pilotes et synthétisé les problèmes des différents acteurs

Construire : comment je vais faire ?

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La formatrice reconfigure les buts de la formation à partir de l'analyse des problèmes rencontrés à différentes échelles.

" J'ai cherché à faire mieux comprendre la nature des difficultés des élèves et à analyser une pratique de classe." Anne Christyn

Des tâches et des buts

Un questionnaire

En amont de la formation, la formatrice envoie un questionnaire pour savoir ce qui pose problème aux enseignants sur cette partie des programmes en mathématiques et ainsi s’appuyer sur leurs préoccupations  lors de la formation.

La situation d'homologie «TRIX»

 Il s'agit de confronter les enseignants à un système irrégulier qui n’est pas automatisé, afin de :

• Prendre conscience  des connaissances que  les élèves doivent mobiliser pour comprendre les systèmes de désignation et pour passer d’un système à un autre
• Inventorier les connaissances utiles
• Les catégoriser et les ordonner à l’aide d’un cadre théorique issu des travaux d'André Tricot et Manuel Musial.

La situation didactique « Les mots nombres »

La formatrice propose d'expérimenter une séance à partir de cette situation didactique. Elle accompagne les enseignants dans la planification de cette séance en confrontant les choix pédagogiques spécifiques liés à leurs contextes d'enseignement.

Lors du retour d'expérience la formatrice aide les enseignants à :

• analyser collectivement la séance menée (difficultés et réussites)
• identifier différentes manières de faire
• réajuster, repenser la mise en oeuvre de la séance.

Des outils conceptuels et méthodologiques 

La formatrice a mobilisé des références théoriques et des méthodes tout en étant vigilante à ne pas les multiplier.

Les formats de connaissances et les processus d’apprentissages d’André Tricot et Manuel Musial À partir de ce cadre théorique, la formatrice cartographie les connaissances sous-jacentes à la numération (Diapo 23 du diaporama de la formatrice).
Un cadre didactique sur les systèmes de désignations des nombres.  Les nombres peuvent-être représentés dans différents systèmes de signesM.Fayol, l'acquisition du nombre, que sais-je ? p.19-35 et p.36-39, aux éditions PUF, 2012 : Le système analogique constitué d’une collection symbolisée organisée ou non Le système symbolique chiffré, les symboles de la numération arabe (de 0 à 9) Le système de numération verbal oral ou écrit. Elle s'appuie sur ces concepts pour formuler le problème des élèves.
La stratégie d’homologie « TRIX » "TRIX" est un système de numération fictif en base 6 qui a des caractéristiques proches du système de numération en langue française. La formatrice mobilise cette situation pour faire éprouver aux enseignants les difficultés inhérentes à notre système de numération. Cette situation est issue d'un colloque COPIRELEMB.Anselmo, M-P.Dussuc, H.Zucchetta, Faire des mathématiques à l'école : de la formation des enseignants à l'activité de l'élève, du comptage à la numération, 2012, p.229 https://www.arpeme.fr/documents/3E21F41D8B75D679E9EA.pdf  .   .
La situation didactique « Les mots-nombres ». Cette situation à destination des élèves, consiste à combiner des mots-nombres afin de réaliser des écritures en lettres puis en chiffres dans notre système de numération (avec l'étiquette "cinquante" et "quatre" on peut former "cinquante-quatre" mais pas "quatre-cinquante"). Cette situation a été conçue par l’équipe ERMELJ.Colomb et al., Apprentissages numériques et résolution de problèmes CE1, Hatier, collection ERMEL.
Une méthode d’analyse de l’action observée en formation continue  Lors des retours d'expérience la formatrice s'appuie sur des extraits de situation filmée. Pour mener l'analyse avec les enseignants elle utilise une trame de questionnementCentre Alain Savary, Concevoir des formations pour aider les enseignants à faire réussir tous les élèves, version 7, 2019, p.23 Lien vers le livret. .

Anticiper : comment je fais ?

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La stratégie d'homologie "TRIX"

La formatrice fait vivre la manière dont elle utilise "TRIX" avec les enseignants:

• La consigne "Voici un nouveau système de numération qui s'appelle TRIX et on va essayer de compter avec ce système-là"
• Des points de vigilance : le droit à l'erreur, la possibilité de communiquer avec son voisin ou de passer son tour. 
• Une synthèse permettant de comparer les connaissances nécessaires au système fictif et au système de numération décimale.  

La situation didactique "Les mots-nombres"

La formatrice propose aux enseignants de planifier la mise en oeuvre de la situation avec des variables possibles en fonction des contextes :

• Consigne, choix du matériel en fonction de la visée didactique, empan numérique
• Groupements des élèves: groupe classe,  petits groupes ou travail individuel étayages.
• Mise en commun, erreurs attendues
• Institutionnalisation, la formulation des concepts et de ce que les élèves doivent retenir.

Dans un deuxième temps les propositions des enseignants sont discutées dans le collectif.  

Les passages à risques

Pour la formatrice il y a plusieurs passages à risque dans cette ingénierie de formation:

• Proposer une situation didactique n'est pas nécessairement utilisable et acceptable pour les enseignants parce qu'elle ne s'inscrit pas dans la planification des enseignants.
• Faire parler les enseignants de leur pratique en classe
• Recueillir des traces de leur activité en classe. Accepteront - ils d'apporter un extrait vidéo de leur séance ?