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Qu'est-ce qu'un obstacle en mathématiques ?

Selon G. Bachelard, "La compréhension s'acquiert contre une connaissance antérieure en détruisant des connaissances mal faites" (1919). Il définit ainsi la notion d'obstacle. Il se manifeste par des erreurs, mais ces erreurs ne sont pas dues au hasard. Elles sont reproductibles et persistantes. Elles sont liées entre elles par une source commune : une manière de connaitre, une conception caractéristique, une connaissance ancienne et qui a réussi dans une domaine d'actions.

L'obstacle n'est pas la difficulté, il est préférable de parler d'élève en difficulté.

Dans le domaine des décimaux, nous pouvons travailler trois types d'obstacle:

• d'origine ontogénétique qui est lié au développement du sujet;
• d'origine épistémologique qui est lié à la nature de la connaissance (ex: l'ordre des décimaux) ;
• d'origine didactique qui est lié aux choix pédagogiques de l'enseignant (ex: présenter les décimaux comme un couple d'entiers).

Des erreurs révélatrices d'obstacles de natures différentes

Afin d'illustrer son propos, J. Briand propose l'analyse de travaux d'élèves de CM1 suite à une situation de découverte de l'addition des nombres décimaux : Dans une salle des fêtes, il faut acheter des rideaux. Les fenêtres mesurent 9,65 m et 7,8 m. Quelle est la longueur de tissu à acheter?

En formation , on peut proposer de classer les résultats en fonction du rôle de la virgule donné par les élèves. En effet, ce rôle est révélateur de leur conception des nombres décimaux tels que:

- un nombre décimal est un couple d'entiers naturels (ex: Véronique);

- les nombres décimaux doivent être alignés sur la droite comme les entiers (ex: Murielle);

- la virgule joue le rôle du zéro (ex: Mathieu).

Cependant, dans cette situation, l'enseignant sera obligé de reprendre la main car aucune validation pragmatique n'est possible. Il s'agissait d'une situation proche de la vie de l'école mais ce n'est pas suffisant. Malgré tout, un travail peut être fait avec les élèves autour de l'ordre des grandeurs des solutions données. Pour les réponses proches mais erronées, cela est rendu plus difficile. Seule la monstration pourra les réfuter. 

Des exercices qui contournent involontairement les obstacles

Certains exercices proposés en classe ont pour effet de contourner les obstacles pour plusieurs raisons:

- les nombres décimaux ont une partie entière différente donc nul besoin de remettre en question la conception du nombre décimal comme couple de deux entiers naturels ;

- dans un souci de progressivité, certains enseignants débutent avec des opérations sans retenue. Ils obtiennent ainsi des réussites fictives puisque parties décimale et entière peuvent être traitées indépendamment.

L'écriture décimale des décimaux : une réponse à un besoin sociétal

Un détour par l'histoire permet la compréhension des nombres décimaux J. Briand et et M-L Peltier (1995). Étude de la Disme de Stevin de Bruges.

Au XVIème siècle, Simon Stevin de Bruges introduit une forme d'écriture décimale alors que jusque là seule l'écriture fractionnaire des décimaux est en vigueur. Cela facilita le travail des imprimeurs mais également des marchands dans leurs calculs quotidiens. Donc l'écriture décimale fut rapidement adoptée pour des raisons pratiques alors que Stevin a  également inventé le système métrique, un système unique, qui fut décrié car il mettait à mal les fraudes fiscales des marchands.

Des usages sociaux des décimaux à distinguer des usages mathématiques

Dans le quotidien, les usages s'émancipent de la virgule. Il n'est pas rare de rencontrer un point à la place d'une virgule (et inversement) ou d'utiliser l'écriture décimale pour rendre compte du temps de travail notamment (ex: 1h15 min prend la forme de 1,25). En classe, il est intéressant de distinguer ces usages du quotidien des connaissances mathématiques. 

Fraction partage / Fraction quotient: des conceptions différentes

À l'école élémentaire, une fraction représente le fractionnement d'une unité. 3/4 = 3 parts d'une unité partagée en 4. À partir du 2nd degré, 3/4 est le partage d'un segment de mesure 3u en 4 segments de mesures égales. On parle de commensuration. Cette conception donne du sens à la fraction-quotient. Cette conception est présente dans les programmes de 2016 pour les 6èmes et représente un passage délicat pendant le cycle 3. 

Les documents d'accompagnement aux programmes tentent d'expliquer le passage de la conception de fraction-quotient à la fraction-partage. Cependant l'exemple pris est 13/5, qui permet de passer facilement par les dixièmes. Or ceci n'est pas toujours possible, par exemple avec 2/3. 

J. Briand propose de faire le lien entre ces deux conceptions avec les élèves uniquement dans le cas des quantièmes de l'unité c'est-à-dire lorsque le numérateur est égal à 1. Si on reprend l'exemple précédent, il s'agit de trouver la valeur de 1/4. Les élèves peuvent plier en deux, puis encore en deux et se rendre compte qu'il faut diviser 1 par 4 pour trouver la valeur décimale: 0,25. Le but n'est pas de faire des élèves des experts des fractions mais qu'ils aient compris que 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25. C. Chambris, F. Tempier et C. Allard (2016). Un regard sur les nombres à la transition école-collège. Colloque IREM n°23

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