Les nombres décimaux

Ce scénario de formation utilise des outils de conception de formation que vous pouvez retrouver dans le livret :

Concevoir des formations pour aider les enseignants à faire réussir tous les élèves

Outillages conceptuels, méthodologiques et techniques

Propositions de traitement du visionnage des vidéos (temps 2 )

Phase 1 : Description des faits observés le plus précisément possible
du point de vue du maître et de l’élève, le formateur peut dire "Nous allons pouvoir observer le travail de collègues qui ont accepté d’être filmés."

Phase 2 : Postuler la cohérence de la pratique : qu’est-ce qui a pu le conduire à agir ainsi ? Le formateur peut par exemple dire :"Pour cela nous allons apprendre ensemble à décrire et interpréter ce que nous voyons en utilisant cet outil issu du travail de recherche de Roland Goigoux (qui ne s’applique pas qu’aux mathématiques). Nous pourrons aussi écouter des extraits d’entretiens que les enseignants ont acceptés après la séance et qui nous donneront de nouveaux éléments sur leurs mobiles d'action"

Phase 3 : Identifier les intérêts et limites, le formateur peut souligner "Nous allons essayer de comprendre, non pas s'ils font « bien » ou pas, mais pourquoi font-ils ce qu’ils font ? Que gagnent-ils ou quels risques prennent-ils à faire ces choix ?"

Phase 4 : Catégorisation à partir de l’analyse
Questions d’apprentissage : composition – décomposition
Questions d’enseignement (focales de Goigoux)
Le formateur peut proposer le tableau suivant:

A partir des vidéos, le formateur peut faire remarquer: 

Comprendre l'écriture, deux parties pour un seul nombre ? : " la finalité de l'apprentissage est de montrer que dans un nombre décimal il y a deux parties. Pour faire comprendre cela, David dans la vidéo 1 chapitre 1, s'appuie sur le schéma de Vergnaud "partie/partie//tout". Il insiste sur l'importance de la valeur de chaque chiffre dans le nombre '' Je ne veux pas la position, mais je veux la valeur'', il dit et il pose qu'il y a deux choses différentes. Il semble que c'est ce savoir-là que David veut construire; à 3'15'' il dit '' Je veux que vous vous rappeliez que dans un nombre décimal, il y a deux parties, la partie entière et la partie décimale''. Savoirs disciplinaires mobilisés par David: Il a en tête la classe de 6ème où les élèves apprennent qu'un nombre décimal est la somme de sa partie entière et sa partie décimale: 1,61=1+0,61 et la partie décimale est strictement inférieure à 1. On peut faire le parallèle avec la vidéo de Marie qui travaille dans l'autre sens".

Les principes de l'écriture décimale en base 10: "Dans la vidéo 2 à 1'15'', pour faire comprendre la décomposition canonique, David part du nombre 234,56 et fait verbaliser la valeur de chaque chiffre en s'appuyant sur le tableau des valeurs. On peut faire le parallèle avec la vidéo de Marie qui travaille dans l'autre sens. Elle fait écrire un nombre décimal à partir de sa décomposition en quantités, la question centrale semble être: "Comment fait-on pour trouver une écriture économique à partir de quantités?"

Construction d'un savoir par un élève, cohérence de l’élève : illustration de la construction de savoir par un élève et de la manière dont l’enseignant et les pairs s’en emparent. David vidéo n°2 à 2’44, l'élève dit « j’ai remarqué que dixièmes c’est comme les dizaines » (remarque sur la symétrie inversée partie entière et partie décimale).Le formateur peut demander: "Qu’est-ce qu’on n’a pas remarqué et que les élèves remarquent dans l’écriture décimale ?" et faire remarquer "que l'élève donne un 'coup de pied' dans l’explication souvent donnée, les centièmes c’est deux chiffres après la virgule " 

Phase 5 : Apports théoriques et alternatives (temps 3)

• Enjeu de cohésion de pratiques d’équipe – cohésion de cycle: Vidéo Marie entretien chapitre 5 du début jusqu’à 11’08 et 11’40 jusqu’à 12’18 
• A partir de l’observation des enseignants Marie et David et des pratiques du collectif d’enseignants sur cette  question : quelles propositions ou autres pistes ? Le formateur sollicite la réflexivité des stagiaires.
• Apports théoriques et prescrit  EDUSCOL(cycle 3) , EDUSCOL(cycle 4), registres sémiotiques (Eduscol), (Raymond Duval), Rationnels et nombres décimaux (Guy Brousseau)

• Conférence de consensus du CNESCO

  • Quel apprentissage de la notion de nombre ? par Henri Lehalle et Laetitia Desmet
  • Quelle difficulté dans l'écriture des nombres ? par Marie-Pascale Noël
  • Quels enjeux du calcul à l'école primaire ? par Eric Roditi et Jean-Paul Fisher
• Proposition d'outils: Le glisse-nombre et son utilisation (M@gistère ''enseigner le calcul mental au CM1 CM2'', cf.présentiel 1 puis  vidéo 3 séances de calcul mental, à 1'45'', puis de nouveau à 8'40'', à 10' et 14'50''), la boîte à mystère, Groupe de travail de l'APMEP, Histoire des maths (Chercher avec la loupe "Simon Stevin" ou "nombre décimal" )

Faire revenir des traces du réel (temps 1)

Le formateur peut s'aider d'un nuage de mots qu'il construit avec les stagiaires: ("ce que j'ai essayé, ce que je gagne, ce que je perds") et collecter les apports des stagiaires sur comment ils enseignent "Ordonner, calculer et comparer avec les nombres décimaux"

Ordonner et comparer des nombres décimaux (temps 2)

Après visionnage de la vidéo de Marie (chapitre 4 "Tâche 2, ordonner''), le formateur peut poser les questions suivantes:

• Quels choix : valeur ou mesure ? 
• Pour apprendre à comparer des nombres décimaux, faut-il commencer par apprendre:
  * A comparer des écritures de ces nombres (partie entière d'abord, puis le chiffre des dixièmes etc.) en utilisant un tableau des unités, dizaines etc.?
                                         *  A comparer les nombres en tant que "mesures" sur une règle graduée: 3,56 est avant 3,6 ; entre 3,5 et 3,6 etc. ?
• Quels outils pour apprendre à comparer les nombres décimaux ? 

Le formateur pourra attirer l'attention sur l'obstacle didactique qui pourrait laisser penser aux élèves que la "longueur" du nombre (le nombre de chiffres pour écrire le nombre)  permet de comparer, contrairement aux nombre entiers.

Calculer avec les nombres décimaux (temps 3)

Après visionnage de la vidéo de Marianne (chapitre 3 ''deuxième cas d'élève''), le formateur peut poser les questions suivantes:

• Quel type d'erreur réalise l'élève ?
• Quel semble être l'obstacle rencontré par cet élève ?
• Sur quoi Marianne semble-t-elle porter son attention ?

Discussion et synthèse (temps 4)

Le formateur pourra s'appuyer sur des extraits issus de la conférence de consensus du CNESCO: Quels enjeux du calcul à l'école primaire ? par Éric Roditi, Jean-Paul Fischer, Lieven Verschaffel et Patrick Lemaire