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Manipuler peut avoir des effets délétères

Pour aborder la question du rôle du matériel en formation auprès d’enseignants des 1^er et 2^nd degrés, Joël Briand propose un problème: « Une équerre est positionnée sur deux axes. Quelle sera la trajectoire du point M quand l’équerre glisse sur les deux axes? »

Il propose aux participants de formuler une conjecture, c’est-à-dire de faire une hypothèse sur la trajectoire du point M. Ensuite, chacun va pouvoir se donner tous les moyens possibles (bricolage à l’aide de feuilles de papier par exemple) pour confirmer ou infirmer cette conjecture. 

À la suite de cet exercice, certains se sont forgés une opinion ou ont changé d’opinion grâce au matériel. 

En classe, certains logiciels permettent de montrer le déplacement. Mais cela reste une conjecture pour les élèves et non une démonstration. L’outil informatique n’a qu’un rôle ostensif, il faut être vigilant avec son utilisation notamment le moment où on y a recours et le rôle qu’on lui attribue en classe.

 À quelles conditions la manipulation favorise les apprentissages mathématiques ? 

En préambule, quelques constats peuvent être avancés :

-       à l’école, on manipule de moins en moins en mathématiques ;

-       or la manipulation est source de motivation ;

-       d’où une multiplication des méthodes qui se déclarent basées sur la manipulation.

Mais le processus de mathématisation est une autre activité que celle de la manipulation.

 Une proposition en formation serait de comparer deux activités en CP avec manipulation.

 Situation A : 

Un enseignant montre à ses élèves : il met 4 jetons dans une boite puis 3 dans une autre. Il écrit au tableau 4 puis 3. Il demande ensuite à un élève de venir compter ce qu’il y a dans les boites et l’élève trouve 7. Alors l’enseignant complète au tableau 4 + 3 = 7.

 Situation B :

Un enseignant montre à ses élèves : il met 4 jetons dans une boite puis 3 dans une autre et met tous les jetons dans une seule et la ferme. Il écrit au tableau un 4 et un 3 et demande à ses élèves de prévoir à l’aide de signes combien il y a de jetons dans la boite. 

Certains vont dessiner des jetons, d’autres vont les remplacer pour des barres ou encore utiliser les signes chiffrés (1, 2, 3…). L’enseignant demande combien ils ont trouvé et ouvre la boite qui va pouvoir valider ou invalider les hypothèses des élèves. Il écrit ensuite 4 + 3 = 7.

 L’objectif de cette comparaison est de montrer la différence dans le rapport aux savoirs entre ces deux situations :

-       l’enseignant A montre l’addition.

-      l’enseignant B a permis qu’un espace se crée. L’enfant a été privé du milieu matériel afin de lui permettre de créer du signe. Il s’agit ici d’un travail d’hypothèses. Charge à l’enseignant ensuite de faire évoluer ces signes.

Cette proposition en formation permet de débattre autour de la manipulation et de traiter de la notion de milieu didactique. Ces deux activités ont le même milieu de référence (boites et jetons) mais le scénario n’est pas le même donc nous sommes en présence de deux milieux d’apprentissage différents. La manipulation de l'enseignant A n'est pas à proscrire, elle permet aux élèves de comprendre à quel "jeu" on va jouer (avec le second scénario). Elle n'a que cette fonction-là.

Pour prolonger, l’enseignant pourrait ajouter ou enlever un jeton de la boite (sans que les élèves le voient), uniquement avec des élèves habitués à ce genre de situation. Et le pari serait gagné à partir du moment où les enfants ont plus confiance en le modèle qu’ils ont construit que la réalité (un jeton de plus ou de moins que prévu), c'est-à-dire qu'ils remettraient en cause la validation par la manipulation. 

Le rôle du manuel scolaire devrait être de proposer des manipulations adéquates permettant l’utilisation du langage d’évocation pour aller vers l’écriture formelle. En formation, il est intéressant d’amener les enseignants à faire ce genre d’analyse. 

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